A resposta é simples: sim. Para que um genitor mude de residência com o seu filho o outro genitor tem que permitir.
A regra está estabelecida no art. 1.634, inciso V do Código Civil, senão vejamos:
Art. 1.634. Compete a ambos os pais, qualquer que seja a sua situação conjugal, o pleno exercício do poder familiar, que consiste em, quanto aos filhos: (...)
V - conceder-lhes ou negar-lhes consentimento para mudarem sua residência permanente para outro Município;
Tal regra visa garantir o direito do filho de conviver de forma equilibrada com a mãe e com o pai, assim como permitir que ambos exerçam com consciência a responsabilidade afetiva com os filhos.
Caso o genitor não permita a mudança do seu filho para outro domicílio, será necessário ajuizar uma ação judicial para suprir essa autorização, devendo apresentar motivos plausíveis, provando que a alteração domiciliar não prejudicará os interesses da criança.
A ação tem que ser proposta na cidade atual que a criança mora, isto é, a ação tem que ser ajuizada antes da mudança de endereço.
Importante mencionar, a autorização é regra, quando o genitor não é presente ou até mesmo o paradeiro é desconhecido, na tentativa de evitar conflito no futuro, o recomendável é requerer a autorização.
Cabendo aqui esclarecer uma dúvida muito comum, o genitor que não registrou o seu filho não é pai, portanto, a autorização não é necessária, seja para mudança ou viagem nacional ou internacional.
Por fim, a obrigatoriedade da autorização da mudança é tanto em âmbito nacional quanto internacional; a modalidade da guarda é irrelevante, unilateral ou compartilhada, o outro genitor tem que permitir.